РЕШУ ЦТ — математика

Системы рациональных уравнений

1.  Задание № 21 Добавить в вариант

Сложность: II

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Системы рациональных уравнений

Пусть (x₁; y₁), (x₂; y₂)  — решения системы уравнений $система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =3xy плюс 1,x минус y=2. конец системы .$

Найдите значение выражения x₁x₂ + y₁y₂.

Решение. Заметим, что $левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате =x в квадрате плюс y в квадрате минус 2xy.$ Решим систему:

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =3xy плюс 1,x минус y=2. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате =xy плюс 1,x минус y=2. конец системы . равносильно система выражений 4=xy плюс 1,x минус y=2. конец системы . равносильно$ $система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =3xy плюс 1,x минус y=2. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате =xy плюс 1,x минус y=2. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4=xy плюс 1,x минус y=2. конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений xy=3,x=y плюс 2. конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка y=3,x=y плюс 2 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x=3,y=1 конец системы . система выражений x= минус 1,y= минус 3 конец системы . конец совокупности .$ $равносильно система выражений xy=3,x=y плюс 2. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка y=3,x=y плюс 2 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x=3,y=1 конец системы . система выражений x= минус 1,y= минус 3 конец системы . конец совокупности .$ $равносильно система выражений xy=3,x=y плюс 2. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка y=3,x=y плюс 2 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x=3,y=1 конец системы . система выражений x= минус 1,y= минус 3 конец системы . конец совокупности .$

Найдем значение выражения x₁x₂ + y₁y₂: $3 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 1 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 6.$

Ответ: −6.

Ответ: -6

-6

Сложность: II

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

2.  Задание № 112 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Системы рациональных уравнений

Пусть (x;y)  — целочисленное решение системы уравнений

$система выражений 4y плюс x= минус 14,4y в квадрате минус 4xy плюс x в квадрате =16. конец системы .$

Найдите сумму x+y.

Решение. Выразим x из первого уравнения системы: $x= минус 14 минус 4y.$ Заметим, что $x в квадрате минус 4xy плюс 4y в квадрате = левая круглая скобка x минус 2y правая круглая скобка в квадрате ,$ поэтому, подставляя x во второе уравнение системы получим:

$левая круглая скобка минус 14 минус 4y минус 2y правая круглая скобка в квадрате =16 равносильно левая круглая скобка минус 14 минус 6y правая круглая скобка в квадрате =16 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка минус 6y минус 14 минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 6y минус 14 плюс 4 правая круглая скобка =0.$ $левая круглая скобка минус 14 минус 4y минус 2y правая круглая скобка в квадрате =16 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка минус 14 минус 6y правая круглая скобка в квадрате =16 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка минус 6y минус 14 минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 6y минус 14 плюс 4 правая круглая скобка =0.$

Таким образом, получаем: $y_1= минус 3,y_2= минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 6 конец дроби .$ Поскольку по условию задачи требуются целочисленные решения системы, тогда найдем x: $x= минус 14 минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 2.$ Сумма x+y равна: $минус 3 плюс левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = минус 5.$

Ответ: −5.

Ответ: -5

112

-5

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

3.  Задание № 232 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2015

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Системы рациональных уравнений

Пусть (x₁; y₁), (x₂; y₂)  — решения системы уравнений $система выражений x в квадрате плюс 4x=15 плюс 3y,4x минус 3y=6. конец системы .$

Найдите значение выражения $x_1y_2 плюс x_2y_1.$

Решение. Найдем решение системы уравнений:

$система выражений x в квадрате плюс 4x=15 плюс 3y,4x минус 3y=6 конец системы . равносильно система выражений 4x минус 3y=15 минус x в квадрате ,4x минус 3y=6 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4x минус 3y=15 минус x в квадрате ,15 минус x в квадрате =6 конец системы . равносильно$ $система выражений x в квадрате плюс 4x=15 плюс 3y,4x минус 3y=6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4x минус 3y=15 минус x в квадрате ,4x минус 3y=6 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 4x минус 3y=15 минус x в квадрате ,15 минус x в квадрате =6 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 3y=x в квадрате плюс 4x минус 15, совокупность выражений x=3,x= минус 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=3,y=2 конец системы . система выражений x= минус 3,y= минус 6 конец системы . конец совокупности .$

Поэтому $x_1y_2 плюс x_2y_1=3 умножить на левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 2= минус 18 минус 6= минус 24.$

Ответ: −24.

Ответ: -24

232

-24

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2015

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

4.  Задание № 262 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2016

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Системы рациональных уравнений

Пусть (x; y)  — решение системы уравнений $система выражений 5x минус y=5,5x в квадрате минус xy плюс x=12. конец системы .$

Найдите значение 5y − x.

Решение. Решим систему уравнений:

$система выражений 5x минус y=5,5x в квадрате минус xy плюс x=12 конец системы . равносильно система выражений 5x минус y=5,x левая круглая скобка 5x минус y правая круглая скобка плюс x=12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5x минус y=5,x умножить на 5 плюс x=12 конец системы . равносильно система выражений 5x минус y=5,x=2 конец системы . равносильно система выражений y=5,x=2. конец системы .$ $система выражений 5x минус y=5,5x в квадрате минус xy плюс x=12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5x минус y=5,x левая круглая скобка 5x минус y правая круглая скобка плюс x=12 конец системы . равносильно система выражений 5x минус y=5,x умножить на 5 плюс x=12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5x минус y=5,x=2 конец системы . равносильно система выражений y=5,x=2. конец системы .$ $система выражений 5x минус y=5,5x в квадрате минус xy плюс x=12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5x минус y=5,x левая круглая скобка 5x минус y правая круглая скобка плюс x=12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5x минус y=5,x умножить на 5 плюс x=12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5x минус y=5,x=2 конец системы . равносильно система выражений y=5,x=2. конец системы .$

Значение 5y − x равно 23.

Ответ: 23.

Ответ: 23

262

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2016

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

5.  Задание № 2127 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Системы рациональных уравнений

Пусть (x₁; y₁), (x₂; y₂)  — решения системы уравнений $система выражений x минус 2y = 10,xy = 12. конец системы .$ Найдите значение выражения $x_1y_2 плюс x_2y_1.$

Решение. Решим систему уравнений:

$система выражений x минус 2y = 10,xy = 12 конец системы . равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y левая круглая скобка 10 плюс 2y правая круглая скобка = 12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y в квадрате плюс 5y минус 6 = 0 конец системы . равносильно система выражений x = 10 плюс 2y, совокупность выражений y = 1,y = минус 6 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = 12,y = 1, конец системы . система выражений x = минус 2,y = минус 6. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x минус 2y = 10,xy = 12 конец системы . равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y левая круглая скобка 10 плюс 2y правая круглая скобка = 12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y в квадрате плюс 5y минус 6 = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y, совокупность выражений y = 1,y = минус 6 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = 12,y = 1, конец системы . система выражений x = минус 2,y = минус 6. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x минус 2y = 10,xy = 12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y левая круглая скобка 10 плюс 2y правая круглая скобка = 12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y в квадрате плюс 5y минус 6 = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y, совокупность выражений y = 1,y = минус 6 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = 12,y = 1, конец системы . система выражений x = минус 2,y = минус 6. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x минус 2y = 10,xy = 12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y левая круглая скобка 10 плюс 2y правая круглая скобка = 12 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y,y в квадрате плюс 5y минус 6 = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = 10 плюс 2y, совокупность выражений y = 1,y = минус 6 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x = 12,y = 1, конец системы . система выражений x = минус 2,y = минус 6. конец системы . конец совокупности .$

Значение выражения $x_1y_2 плюс x_2y_1$ равно

$12 умножить на левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на 1 = минус 72 минус 2 = минус 74.$

Ответ: −74.

Ответ: -74

2127

-74

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: III

Классификатор алгебры: 3\.13\. Системы уравнений

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	21	-6
2	112	-5
3	232	-24
4	262	23
5	2127	-74